Философские основы некоторых разделов прикладной математики
Казалось бы, что общего между прикладной математикой и философией?
Несмотря на кажущееся различие этих дисциплин, точки соприкосновения всё-таки найти можно. Но для того, чтобы их обнаружить, необходимо обратиться к истокам. Давайте вернёмся на несколько десятилетий назад и рассмотрим историю возникновения довольно популярного в настоящее время направления прикладной математики – математической теории игр и принятия решений и ту мировоззренческую почву, на которой эта теория появилась.
Как известно, теория игр – математическая дисциплина, изучающая природу конфликта, то есть процесса в котором участвуют две и более стороны, интересы которых в некой области пересекаются. При этом каждая из сторон обладает некоторым набором допустимых действий, называемых стратегиями.
Произведение множеств допустимых стратегий игроков называется игровым множеством, и на этом множестве определены функции (или функционалы, если выражаться строгим математическим языком), которые называются функциями полезности. Они также называются в некоторых источника целевыми или платёжными функциями.
Соответственно, каждая из участвующих в игровой (конфликтной) ситуации сторон стремится максимизировать свою функцию полезности. В данном случае для простоты изложения мы не будем рассматривать так называемые антагонистические игры, участники которых имеют одинаковую функцию полезности, но один из участников стремится её максимизировать, а другой минимизировать.
Целью игровой задачи является отыскание тех точек на игровом множестве, от которых ни один из участников не пожелал бы отклониться ввиду риска получить меньшее значение собственной (или групповой, если игровая задача предполагает возможность участников объединяться в коалиции) функции полезности. Такие точки называются равновесиями.
Неочевидным фактом является то, что самому понятийному аппарату теория игр обязана философии.
Действительно, даже основной для теории игр термин — функции полезности (utility function англ.) является отсылкой к разработанной английскими философами Джереми Бентамом (1748-1832) и его учеником Джоном Стюартом Милем (1806-1873) моральной теории утилитаризма.
Напомним, что согласно этой философской концепции, нравственным критерием того или иного поступка является его полезность.
При этом само понятие пользы оказалось трудно формализовать. Если Джереми Бентам в какой-то степени отождествлял пользу и удовольствие, что в глаза многих превратило утилитаризм в развитие гедонизма, то Джон Стюарт Милль под пользой подразумевал общественное благо, суммарное удовольствие всех членов общества.
Однако он же делал оговорку, что поскольку в реальной жизни человеку не так часто приходится действовать именно для блага общественного, то каждому индивиду необходимо стремится обеспечить хотя бы своё частное благо [1].
И хотя Джон Стюарт Милль, видимо, предполагал, что даже к частному благу индивиды должны стремиться имея ввиду общественное (поскольку общественное благо, в понимании Дж. Ст. Милля суммируется из частных благ его представителей), то создатели теории игр эту оговорку попросту опустили.
Действительно, «отцами основателями» теории игр считаются американские математики Джон фон Нейман и Осип Моргерштерн, поскольку именно с выходом в 1944 году их книги «Теория игр и экономическое поведение» [4] связывают становление теории игр как отдельного направления в прикладной математике.
Однако действительную известность теории игр приобрела благодаря сформулированному в 1949 году в диссертации ещё одного американского математика — Джона Ф. Нэша — понятия равновесия, которое носит имя автора (равновесие по Нэшу).
Равновесной по Нэшу считается та игровая ситуация, от которой ни один из участников не может отклониться, при неизменны стратегия остальных участников, не уменьшив при этом значение своей платёжной функции.
Равновесие по Нэшу сделало теорию игр востребованной и применимой во всех сферах человеческой деятельности, которые имеют дело с пересечением интересов или с конфликтом: экономика, политика, военная сфера, биология и т. д.
Однако данное весьма интуитивное и ставшее классическим понятие равновесия имеет ряд весьма существенных недостатков.
Первым недостатком является то, что данное равновесие существует далеко не во всех конфликтных задачах, а лишь в тех, функции полезности в которых имеют весьма специфический вид седла.
Поскольку Джон Нэш исследовал прежде всего антагонистические игры, то есть те задачи в которых один участник выигрывает то, что проигрывает второй, то в таких задачах функции полезности у игроков совпадают, при этом один из участников свою (общую для обоих) функцию стремится максимизировать, а второй минимизировать. Равновесием по Нэшу в таком случае будет являться минимакс изображённый в качестве примера на рисунке 1.
Однако поскольку, как нетрудно догадаться, подобный вид функций полезности встречается далеко не во всегда, то во многих конфликтных задачах равновесия по Нэшу попросту не существует.
Вторым существенным недостатком является то, что даже в случае существования равновесие по Нэшу может оказаться абсолютно невыгодным причём для все участников сразу.
Классическим примером, иллюстрирующим данную особенность равновесия по Нэшу является Дилемма заключённого.
Данный пример наглядно демонстрирует уже упоминавшийся нами ранее факт: создатели теории игр не учли, что авторы утилитаризма, когда постулировали, что каждый индивид должен стремиться обеспечить частное благо, при этом имели ввиду, что он не будет забывать о благе общем. В созданной же ими теории общественное благо не фигурирует абсолютно и, возможно, именно поэтому классическая теория игр, фактически ставшая формализацией индивидуализма и эгоизма, как никто иной справилась с задачей описания принципов принятия решения в мировой экономике, поскольку именно эти принципы там и превалируют в настоящее время.
И всё бы хорошо, но индивидуалистическое мировоззрение, как это наглядно демонстрирует дилемма заключённого, не приводит к общему благосостоянию, а позволяет относительно хорошо существовать лишь ограниченному классу участников, да и для них это состояние может оказаться весьма временным.
Каков же выход?
Альтернативные системы конфликтных равновесий
Поскольку, как мы только что убедились, теория игр фактически стала математической формализаций некоторых философских, этических концепций, то и исправить недостатки классической теории следует прежде всего на концептуальном, мировоззренческом уровне, и затем переложить более совершенные этические принципы на язык формул и математического формализма.
Итак, главным недостаткам классической теории игр, по мнению автора, является заложенная в ней чрезмерно индивидуалистическая модель принятия решения (рациональность).
Ущербность такой рациональности хорошо демонстрирует дилемма заключённого: когда думаешь только о себе, забывая об общественном благе, то и общественного блага не добьёшься, и сам в итоге в дураках останешься. И наоборот: если поставить приоритет хоть в небольшой степени общих интересов, интересов ближнего над собственными, в итоге и ближнему поможешь, и сам выиграешь.
Теперь постараемся формализовать данные этические постулаты с помощью математически конструкций.
Первым из известных автору примеров привнесения в теорию игр принципов учёта взаимных интересов стала разработанная профессором МГУ, доктором физ.-мат. наук Э.Р. Смольяковым система конфликтных равновесий.
Данная система состоит из набора усиливающихся равновесий, самое слабое из которых (А-равновесие) существует во всех игровых задачах из весьма широкого класса.
Чем более высокое в иерархии равновесие удаётся найти в конфликтной задаче, тем более выгодно оно для участников и, соответственно, большей устойчивостью обладает.
Таким образом удаётся устранить оба перечисленные выше недостатка классической теории игр: во-первых в любой конфликтной задаче можно найти решение, коим будет являться самое сильное из существующих в игре равновесий, и, во-вторых, это решение как правило оказывается действительно выгодным для участников задачи, чего нельзя сказать о равновесии по Нэшу.
И достигается данный эффект введением в алгоритм построения равновесия неявного учёта интереса других участников.
<…>
Математическое моделирование этических принципов
Однако включить учёт взаимных интересов в логику принятия решения можно и не изменяя основное равновесие по Нэшу, а внеся некоторые коррективы в функции полезности, максимум которых стремятся доставить участники задачи.
Так в 2017 году в специализирующемся на теории игр журнале Games (Базель, Швейцария) вышел специальный выпуск под заголовком «Этика, мораль и теория игр» [2]. В этом выпуске были собраны статьи разных авторов объединённые обозначенной в заглавии темой – попыткой с помощью теории игр смоделировать различную логику принятия решения (рациональность), основанную на различных этических принципах.
Особое внимание автора привлекла работа Ингелы Алджер и Йоргена Вибула «Стратегии поведения альтруистов и моралистов» [3].
В этой работы авторами моделировались и сравнивались на примере различных задач несколько типов принятия решения (рациональностей), основанные на следующих принципах: эгоизм, альтруизм, мораль, понимаемая в смысле следования категорическому императиву Канта.
Автору данного исследования удалось несколько видоизменить и доработать приведённые в работе [3] модели, в результате чего получились новые модели принятия решения, основанные на различных этических принципах. И для этих моделей был доказан ряд теорем существования конфликтных равновесий [5, 6].
В частности, если постараться кратко сформулировать суть полученных результатов, то удалось показать, что в конфликтных задачах, в которых моделируется учёт взаимных интересов, уровень кооперативного дохода в равновесной ситуации связан с уровнем предпочтения участниками общественных интересов личным: чем выше данный показатель тем более выгодные для всего сообщества ситуации становятся равновесными.
Иначе говоря, сообщества, где подобные этические принципы преобладают, будут иметь существенные преимущества, в сравнении с сообществами, в которых преобладают индивидуалистическая модель принятия решения, поскольку более выгодные для всех ситуации установятся в таком сообществе как равновесные.
Данный тезис заставляет задуматься о важности просветительской и воспитательной работы как одном из наиболее эффективных факторов, способных в короткие сроки вывести общество на качественно новый уровень.
Доклад подготовил Красников К.Е.
для международной конференции «Формальная философия»,
которая просходила НИУ ВЩЭ, 29 октября — 3 ноября 2022 г.
Литература
1. Гусейнов А. А. История этических учений под ред. А. А. Гусейнов, Москва:, 2015.C. 716–724.
2. Alfano M., Rusch H., Uhl M. Ethics, Morality, and Game Theory // Games. 2017.
3. Alger I., Weibull J. W. Strategic Behavior of Moralists and Altruists // Games. 2017. № Ethics, Morality, and Game Theory.
4. Neumann J. von, Morgenstern O. Theory of Games and Economic Behavior / J. von Neumann, O. Morgenstern, Princeton-е изд., 1944. 625 c.
5. Красников К.Е. Математическое моделирование некоторых социальных процессов с помощью теоретико-игровых подходов и принятие на их основе управленческих решений // Russian Technological Journal. 2021. Т. 9. № 5 (43). С. 67-83.
6. Krasnikov K.E. Some social and ethical norms of behavior: mathematical modeling using game-theoretic approaches // Control Sciences. 2022. № 1. С. 27-42.
