Дорогие друзья!

Предлагаем Вашему вниманию отзыв на диссертацию К.Е. Красникова «Математиеческое моделирование этических принципов с помощью теоретико-игровых подходов» доктора физ.-мат. наук, профессора МГУ им. М.В. Ломоносова Э.Р. Смольякова.

Эдуард Римович Смольяков (род. 1938) — российский математик, автор более 370 работ, в числе которых ряд монографий.

Область основных научных интересов: теория игр, оптимальное управление, механика, философия. Э.Р. Смольяков получил фундаментальные результаты в этих областях и ряде других дисциплин: получил синтез оптимального управления крылатым аппаратом типа космического челнока при его выведении с орбиты вокруг Земли на взлетно-посадочную полосу аэродрома (1962); сформулировал и доказал принцип максимума для задач оптимального управления с нерегулярными фазовыми ограничениями (1963—1964); ввёл в дифференциальные игры понятие смешанной стратегии (1969); разработал игровые экономические модели мировой экономики (1976—1979).

Э.Р. Смольяковым (1980-е) создано новое научное направление — теория принятия предложений, на основе которого им построена общая теория конфликтов и новая теория игр, включающая в себя в качестве частного случая классическую теорию и позволяющая в отличие от последней решать любые игровые и произвольные конфликтные задачи. Занимался исследованием неопознанных физических явлений (1990-е), опубликовал две монографии по этой тематике. Ввёл понятия (2003—2007) двойственной (магнитной) вселенной и обобщённого закона Ньютона и разработал на их основе теорию быстрых межзвёздных полётов и общие уравнения электромагнитного поля. Заложил начала (2007) нового научного направления — экстремальной теории размерностей, в рамках которого нашёл ряд новых фундаментальных физических постоянных и разработал теорию получения дифференциальных уравнений любых динамических процессов, опираясь только на физические константы и не пользуясь никакими физическими законами, а получая эти законы попутно математическим путём. Нашёл универсальные уравнения движения и изменения любых процессов, обеспечивающие перемещение с полной самокомпенсацией инерциальных сил (перегрузок), с остановкой внутреннего времени и с возможностями управления временем (управления переходами в прошлое и будущее).

Помимо математики и механики в сферу интересов учёного входят также неопознанные физические явления и неизвестные возможности человека. В этой области им написаны две монографии: «Тайны жизни» и «Топология подсознания».

С 2002 года Э.Р. Смольяков работает в должности профессора в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова на кафедре нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМиК), где читает лекции и ведёт занятия по специальным дисциплинам: «Теория конфликтов и дифференциальные игры» и «Обобщенное оптимальное, конфликтное и стохастическое управление».

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭТИЧЕСКИХ ПРИНЦИПОВ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕТИКО-ИГРОВЫХ ПОДХОДОВ

Диссертация Красникова К.Е. посвящена изучению возможностей математического моделирования высоконравственного человеческого общества. Эта тема в данное время оказывается весьма актуальной, хотя и кажется весьма фантастической. Я полагаю, что для разработки подобных моделей пока еще не имеется соответствующей математической базы, в связи с чем многократно и безуспешно отговаривал его от работы в этом направлении. Правда, в течение последних нескольких десятков лет все же предпринимались попытки построить подобную математическую модель, опираясь только на имеющиеся результаты общей теории игр, которую в некотором приближении можно рассматривать как вполне удовлетворительную модель эгоистического безнравственного общества. В самом деле, теория игр позволяет математически рассчитывать доходы эгоистически взаимодействующих друг с другом индивидуумов и экономических сообществ в условиях конкуренции между ними. К сожалению, эгоистическое общество явно ведет человеческое общество к гибели и не может (и не должно) стать основой дальнейшего развития человечества.

Первое строгое математическое определение понятия равновесия для игровых задач было получено Дж. Нейманом в 1928 г. (в классе впервые введенных им понятий «чистых» и «смешанных» стратегий) для случая антагонистических игр (с двумя участниками). И только в 1961 г. Дж Нэш, в свои студенческие годы, чуть-чуть обобщил это понятие, распространив его на случай более двух участников. Это равновесие можно записать в виде: $$\underset{q_k\in Q_k}{\max }{J}_k(q_1,...,q_N)=J_k(x),k=1,...,N$$ Его можно назвать пассивным равновесием, так как в его определении не присутствуют явно какие-либо понятия угроз со стороны остальных $N-1$ участников. Серьезным недостатком этого равновесия по Нэшу является то, что существует оно в играх далеко не часто и, к тому же, может оказаться совершенно неприемлемым сразу для всех участников. Тем не менее, в теории игр оно нашло широкие приложения в условиях отсутствия иных понятий равновесия.

В дальнейшем в общей теории игр было предложено множество постепенно усиливающихся естественных понятий равновесия (не включающих в себя каких-либо искусственно навязываемых участникам норм поведения), использующих понятие угрозы. Эти новые понятия $A-,B-,C-,D-,...$ равновесий образуют иерархические цепи, вследствие чего гарантируется не только существование решения любой игры с $N$ участниками, но и возможность нахождения единственного наиболее сильного равновесия, устраивающего всех.

Однако, к сожалению, эти игровые равновесия по существу формируют в обществе эгоистические тенденции. А для формирования высоконравственного общества далеко не достаточно только словесных утверждений о необходимости всегда соблюдать в жизни правила поведения, гарантирующие комфортное существование не только нас самих, но и всех остальных членов общества. Желательно, чтобы эти правила стали естественными для нас и чтобы они были заложены естественным образом в саму экономику, как это и происходит с эгоистическими основами теории игр. Однако для этого требуется предварительно разработать теоретические (математические) формулировки понятия нравственности, которые смогли бы стать набором аксиом, опираясь на которые удалось бы строить математические модели высоконравственной экономики.

Но, к сожалению, дать математические формулировки понятий нравственности пока еще никому не удались. И поэтому некоторые математики пытались приспособить основные понятия теории игр (аксиомы и понятия конфликтных равновесий) к разработке основ высоконравственного общества. Эти попытки следует конечно же только приветствовать, поскольку они являются первыми шагами, позволяющими обращаться к понятиям нравственности не как к пустым словам, а как к научно (математически) подтверждаемым понятиям.

Диссертация Красникова К.Е. как раз и посвящена этой цели. В ней, в отличие от всех российских и зарубежных работ, дается наиболее глубокий анализ возможностей использования теории игр для разработки математических основ нравственности и морали.

Формально классические платежные функции теории игр $J_k(q)$ допускают возможность такой модификации, чтобы они позволили программно учитывать тот факт, что члены общества (игроки) обязаны отдавать часть своих доходов на благо всего общества, а не тратить только на свои личные нужды. С этими вспомогательными платежными функциями автор ищет множество игровых равновесий, учитывающих фактор пожертвования личных доходов на благо всего общества, и доказывает ряд теорем, которые оказываются весьма полезными также и для общей теории игр. Причем в то время как зарубежные авторы пытаются строить подобные модели, используя преимущественно равновесие по Нэшу (которому присущи перечисленные выше весьма серьезные недостатки), диссертация Красникова К.Е. опирается на богатое множество понятий равновесия, в числе которых всегда имеется существующее в любых задачах наисильнейшее равновесие.

Если $\{J(q)\}=\{J_1(q),...,J_N(q)\}$ — исходная игра с $N$ участниками с платежными функционалами $J_i$, то на её основе всегда может быть сформулирована вспомогательная игра с платежными функциями игроков $U_i(q,\alpha )=(1-\alpha )J_i(q)+\frac{\alpha }{N-1}{J}^i(q)$, где $J^i(q)=\sum _{k\ne i}{J}_k(q)$, $\alpha \in [0,\frac{N-1}{N}]$ — это вводимый в исходную игру параметр, $i=\overline{1,N}$. В этой вспомогательной игре $\{U_i(q,\alpha )\}$ величина $\alpha J_i(q)$ определяет вклад, который делает $i$-й игрок из своего суммарного дохода $J_i(q)$ на общественные нужды. Этот вклад в общее дело может быть и неодинаковым для разных игроков (в этом случае используется множество параметров ${\alpha }_i$).

К сожалению, система игровых равновесий (и кооперативный доход) в исходной игре $\{J(q)\}$ в общем случае не совпадают с их значениями во вспомогательных играх $\{U_i(q,\alpha )\}$, что существенно затрудняет реальную оценку того вклада, который делает каждый игрок на общественные нужды в исходной игре $J_k(q)$, что является серьезным недостатком подобного подхода.

В связи с этим автор, в отличие от всех известных подобных работ, проводит глубокое математическое исследование влияния параметров ${\alpha }_i$ на решение игры, результаты которого представлены рядом новых теорем, полезных также с точки зрения общей теории игр. Автор устанавливает связи между этими параметрами, кооперативным доходом в исходной игре и сильнейшими равновесиями, от которых существенно зависит дележ кооперативного дохода.

Заметим, что наибольший интерес для всех участников представляет именно справедливый дележ кооперативного дохода, поскольку только в результате подобного дележа каждый участник гарантированно получает свою долю, которая всегда может быть сделана не менее того, что он смог бы получить, играя индивидуально или в составе любых коалиций. Причем справедливый дележ может быть найден только на основе наисильнейших игровых равновесий.

На ряде статических и динамических математических моделей в работе было продемонстрировано, что, опираясь всего лишь на аксиоматику и равновесия по существу «эгоистической» теории игр, удается все же (особенно — при соответствующем обучении участников) обеспечить движение к устойчивому высоконравственному обществу, благоприятному и желательному для всех его членов.

А доказанные Красниковым К.Е. теоремы, устанавливающие строгие математические связи между введенными им параметрами , с одной стороны, и с различными игровыми равновесиями и кооперативными доходами, с другой, представляют собой существенный вклад в общую теорию игр и открывают горизонты для дальнейших возможных исследований в направлении математической формализации столь далекого от математики понятия как «высокодуховное общество».

Меня, как главного противника использования теории игр для моделирования понятий нравственности, не поддерживавшего поэтому работу своего аспиранта в этом направлении, удивила глубина проведенного им самостоятельно исследования столь сложной «скользкой» и далекой от математики темы, рассматривавшейся им как в статике, так и в динамике — на основе нелинейных дифференциальных уравнений.

На многих рассмотренных в работе примерах, и, в особенности, — на примере сложной динамической модели мирового производства и торговли, описываемой существенно нелинейными дифференциальными уравнениями и моделирующей мировые рынки производства и потребления энергии и экономического развития стран, автором было убедительно доказано, что фактор нравственности участников играет огромную роль в развитии человеческого общества и существенно влияет на темпы и устойчивость экономического развития.

В целом, эта работа представляет собой гораздо более полное и глубокое математическое исследование проблемы нравственности, чем все известные российские и зарубежные аналогичные работы вместе взятые, хотя общие проблемы математического моделирования понятия нравственности она все же не решила в той мере, в какой проблемы эгоистического поведения были решены в теории игр. Но это ни в коей мере не умаляет ее теоретической и практической ценности. Автор показал, что, даже оставаясь в рамках известной на сегодня теории игр, имеется все же возможность успешного математического моделирования принципов нравственности, бескорыстия и высокой морали.

Следует ещё отметить (в качестве похвалы автору и в качестве информации для всех намеревающихся строить математические модели нравственного общества на основе теории игр), что проведенное Красниковым К.Е. в диссертации глубокое исследование указало также на все же ограниченные возможности использования современной теории игр для построения математических моделей высоконравственного общества.

И, наконец, в работе получены численные алгоритмы поиска различных игровых равновесий (в среде МАТЛАБ), что весьма полезно с позиций всевозможных практических приложений теории игр.

Считаю, что диссертация (и автореферат) удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к кандидатским диссертациям по физико-математическим наукам, а ее автор заслуживает ученого звания кандидата физико-математических наук.

Доктор физ.-мат. наук, профессор МГУ им. М.В. Ломоносова Э.Р. Смольяков